特殊矩陣 (八)：Vandermonde 矩陣

本文的閱讀等級：初級

Vandermonde 矩陣具有以下形式

$$A_n=\begin{bmatrix}

1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\

1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}

\end{bmatrix}$$

$$A_n=[a_{ij}]$$ 是 $$n\times n$$ 階矩陣，其中各元為 $$a_{ij}=x_i^{j-1}$$。

利用逆矩陣積分

本文的閱讀等級：中級

在“從幾何向量空間到函數空間”一文，我說明了函數空間可視為廣義的向量空間；函數的線性運算，例如微分算子，其實就是定義於向量空間裡的線性變換，而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底，線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示，這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。 

矩陣視覺化

本文的閱讀等級：初級

矩陣通常以其儲存的數字列陣形式呈現，除非是天賦異稟的奇才，一般人很難洞察大尺寸矩陣的內部構造。矩陣視覺化是指利用色彩表示元的數值，雖然並不十分精確，但適合觀察矩陣行列和分塊結構，具有「見林不見樹」的效果。

由最簡列梯形矩陣判斷線性方程解的結構

本文的閱讀等級：初級

給定一個 $$m\times n$$ 階矩陣 $$A$$，方程式  $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的解有哪些可能性？對於任意 $$m$$ 維向量 $$\mathbf{b}$$，解是否存在？又是否唯一？或者說解的結構為何？從矩陣 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣 $$R$$，我們可以回答上述關於解的結構問題。看這個例子：

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&1&3\\

1&2&2&5\\

1&2&3&7\end{bmatrix}$$

Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？

本文的閱讀等級：初級

幾天前的一堂課，我用下例說明 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解集合是三維空間中穿越原點的一直線，所以是一個子空間，稱為 $$A$$ 的零空間。

$$\begin{bmatrix}

1&2&4\\

1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

0\\

0\end{bmatrix}$$

二矩陣之和的逆矩陣

本文的閱讀等級：中級

1970年代美國電視影集 "Kung Fu" 裡，主角甘貴成 (Caine) 與盲眼老和尚 (Master Po) 初次相遇時有一段令人難忘的對話。(按此收看 YouTube 影片)

矩陣乘法的現代觀點 (三)

以分塊作為計算單元定義 AB

假設矩陣 $$A$$ 是 $$m\times n$$ 階，$$B$$ 是 $$n\times p$$ 階，則 $$AB$$ 可以相乘。同樣道理，將 $$A$$ 和 $$B$$ 以分塊矩陣形式表示，例如，$$A$$ 為 $$3\times 2$$ 分塊，$$B$$ 為 $$2\times 2$$ 分塊：

$$A=\begin{bmatrix}

A_{11}&A_{12}\\

A_{21}&A_{22}\\

A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}$$ 和 $$B=\begin{bmatrix}

B_{11}&B_{12}\\

B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}$$

如此 $$AB$$ 可以用分塊矩陣實現乘法運算。

矩陣乘法的現代觀點 (二)

以列作為計算單元定義 AB

這個定義和以行作為計算單元的定義有類比的形式，我們視 $$AB$$ 的每一列為 $$B$$ 其列之線性組合，矩陣 $$A$$ 的對應列給出組合權重，如下：

$$\mathrm{row}_{i}(AB)= \mathrm{row}_{i}(A)\cdot\mathit{B} $$

矩陣乘法的現代觀點 (一)

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高中數學課本將矩陣乘積 $$AB$$ 的定義建立於每個 $$(i,j)$$ 元的計算式上，進入大學之後，如果仍緊抓住這個定義不放，對於理解線性代數反而是個阻礙。從比較現代的角度來看，矩陣乘積有許多個更富含意義的等價運算方式。