分塊矩陣的解題案例

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數學解題像是一門具歸納性質的實驗科學活動，學者不僅試圖了解各種解答，還希望能明白這些解答背後的動機和過程。美國數學家 G. Polya (1887-1985) 在其名著“How to Solve it”（中譯《怎樣解題》，天下文化出版，2006）主張數學解題過程可分為四個階段。第一、了解問題：要知道未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？第二、擬定計畫：找出已知數和未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確，可以嘗試考慮類似的問題。最後，我們應該能想出解題的計畫。第三、執行計畫：將解題計畫付諸實現，仔細檢查每一個步驟。第四、驗算與回顧：驗算所得的解答，檢驗每個論證步驟是否正確。Polya 並以“啟發法”（heuristic）為基礎，舉出一連串提示問題引領讀者朝著解答方向前進。本文就以矩陣分析常使用的分塊矩陣為例，跟隨 Polya 的腳步，學習透過有效的提問來激發想法，從而構思解題計畫，跨越障礙直達問題核心。

最簡列梯形陣式的唯一性

本文的閱讀等級：高級

高斯---約當法（Gauss-Jordan method）是線性代數中最常使用的演算法之一，它的功用是將給定矩陣化約至最簡列梯形陣式（reduced row echelon form）。透過最簡列梯形矩陣，不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題，如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底。從高斯---約當法的演算過程，我們憑直覺推斷 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣是唯一的，於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣和分塊矩陣的代數證明方法，透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

矩陣視覺化

本文的閱讀等級：初級

矩陣通常以其儲存的數字列陣形式呈現，除非是天賦異稟的奇才，一般人很難洞察大尺寸矩陣的內部構造。矩陣視覺化是指利用色彩表示元的數值，雖然並不十分精確，但適合觀察矩陣行列和分塊結構，具有「見林不見樹」的效果。

由最簡列梯形矩陣判斷線性方程解的結構

本文的閱讀等級：初級

給定一個 $$m\times n$$ 階矩陣 $$A$$，方程式  $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的解有哪些可能性？對於任意 $$m$$ 維向量 $$\mathbf{b}$$，解是否存在？又是否唯一？或者說解的結構為何？從矩陣 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣 $$R$$，我們可以回答上述關於解的結構問題。看這個例子：

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&1&3\\

1&2&2&5\\

1&2&3&7\end{bmatrix}$$

二矩陣之和的逆矩陣

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1970年代美國電視影集 "Kung Fu" 裡，主角甘貴成 (Caine) 與盲眼老和尚 (Master Po) 初次相遇時有一段令人難忘的對話。(按此收看 YouTube 影片)

矩陣乘法的現代觀點 (三)

以分塊作為計算單元定義 AB

假設矩陣 $$A$$ 是 $$m\times n$$ 階，$$B$$ 是 $$n\times p$$ 階，則 $$AB$$ 可以相乘。同樣道理，將 $$A$$ 和 $$B$$ 以分塊矩陣形式表示，例如，$$A$$ 為 $$3\times 2$$ 分塊，$$B$$ 為 $$2\times 2$$ 分塊：

$$A=\begin{bmatrix}

A_{11}&A_{12}\\

A_{21}&A_{22}\\

A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}$$ 和 $$B=\begin{bmatrix}

B_{11}&B_{12}\\

B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}$$

如此 $$AB$$ 可以用分塊矩陣實現乘法運算。