在“從幾何向量空間到函數空間”一文，我說明了函數空間可視為廣義的向量空間；函數的線性運算，例如微分算子，其實就是定義於向量空間裡的線性變換，而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底，線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示，這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。
設 $$V$$ 是連續實函數所形成的向量空間，令 $$S$$ 為 $$V$$ 裡面的子空間，$$S$$ 由 $$n$$ 個基底函數集 $$\mathcal{B}=\{f_1,f_2,\ldots,f_n\}$$ 擴張而成。設 $$D:S\rightarrow S$$ 表示微分算子，而 $$n\times n$$ 階實矩陣 $$A$$ 則為微分算子 $$D$$ 參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的表示矩陣。例如，$$\mathcal{B}=\{f_1,f_2\}$$ 是子空間 $$S$$ 的基底，定義如下：
$$f_1=e^{at}\sin bt$$，$$f_2=e^{at}\cos bt$$
其中常數 $$a$$，$$b$$ 不都是零。計算兩基底函數的微分，
$$D(f_1)=ae^{at}\sin bt+be^{at}\cos bt=af_1+bf_2$$
$$D(f_2)=-be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt=-bf_1+af_2$$
對於 $$S$$ 裡的任意函數 $$f=c_1f_1+c_2f_2$$，參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的座標向量記為
$$[f]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}
c_1\\
c_2
\end{bmatrix}$$
利用線性變換基本性質 $$D(c_1f_1+c_2f_2)=c_1D(f_1)+c_2D(f_2)$$，就有
$$D(f)=c_1(af_1+bf_2)+c_2(-bf_1+af_2)=(ac_1-bc_2)f_1+(bc_1+ac_2)f_2$$
上式可表示為座標向量並以矩陣乘法運算，
$$[D(f)]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}
ac_1-bc_2\\
bc_1+ac_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a&-b\\
b&a
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
c_1\\
c_2
\end{bmatrix}=A[f]_{\mathcal{B}}$$
這指出參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的微分表示矩陣為
$$A=\begin{bmatrix}
a&-b\\
b&a
\end{bmatrix}$$
矩陣 $$A$$ 的第 $$1$$ 行正是 $$[D(f_1)]_{\mathcal{B}}$$，第 $$2$$行則是 $$[D(f_2)]_{\mathcal{B}}$$。關於座標映射和基底變換的詳細介紹，請參見“基底變換”。
計算逆矩陣
$$A^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{bmatrix}
a&b\\
-b&a
\end{bmatrix}$$
從已知條件，$$a^2+b^2\neq 0$$，$$A^{-1}$$ 是參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的積分表示矩陣，也就有
$$[D^{-1}(f)]_{\mathcal{B}}=A^{-1}[f]_{\mathcal{B}}$$
基底函數 $$f_1$$ 和 $$f_2$$ 的積分可分別由 $$A^{-1}$$ 的第 $$1$$，$$2$$ 行求得：
$$D^{-1}(f_1)=\frac{1}{a^2+b^2}(af_1-bf_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{at}\sin bt-be^{at}\cos bt)$$
$$D^{-1}(f_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(bf_1+af_2) =\frac{1}{a^2+b^2}(be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt)$$
我們再做一個積分練習問題。對於正整數 $$n$$，求問
$$\int x^{n}e^{x}dx=?$$
先考慮 $$n=1$$，使用部分積分方法，
$$\int xe^{x}dx=xe^x-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$$
接著，$$n=2$$，繼續使用部分積分，並且利用上式結果，可得
$$\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int e^{x}d(x^2)=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$$
$$=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}$$
要由兩次積分結果歸納出一般式顯得相當困難，因此我們會繼續嘗試計算 $$n=3$$ 的積分式，不過事情暫時到此為止，下面我們改用線性代數方法——利用逆矩陣積分。
設基底 $$\mathcal{B}$$ 包含 $$n+1$$ 個基底函數，$$\mathcal{B}=\{e^x,xe^x,x^2e^x,\ldots,x^ne^x\}$$，各基底函數的微分為
$$D(e^x)=e^x$$
$$D(xe^x)=e^x+xe^x$$
$$D(x^2e^x)=2xe^x+x^2e^x$$
$$\vdots$$
$$D(x^ne^x)=nx^{n-1}e^x+x^ne^x$$
參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的 $$(n+1)\times(n+1)$$ 階微分表示矩陣如下：
$$A=\begin{bmatrix}
1&1&0&\cdots&0&0&0\\
0&1&2&\cdots&0&0&0\\
0&0&1&\cdots&0&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1&n-1&0\\
0&0&0&\cdots&0&1&n\\
0&0&0&\cdots&0&0&1
\end{bmatrix}$$
我們的問題是求 $$A^{-1}$$ 的最末行，該行即為所求積分式 $$x^ne^x$$ 參考基底 $$\mathcal{B}$$ 的座標向量。考慮 $$n=5$$ 的例子，解方程式 $$A\mathbf{x}=\mathbf{e}_6$$ 可得 $$6\times 6$$ 矩陣 $$A^{-1}$$ 的第 $$6$$ 行。以高斯消去法化簡增廣矩陣 $$\begin{bmatrix}
A&\mathbf{e}_6
\end{bmatrix}$$：
$$\begin{bmatrix}
1&1&0&0&0&0&\vert&0\\
0&1&2&0&0&0&\vert&0\\
0&0&1&3&0&0&\vert&0\\
0&0&0&1&4&0&\vert&0\\
0&0&0&0&1&5&\vert&0\\
0&0&0&0&0&1&\vert&1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&1&0&0&0&0&\vert&0\\
0&1&2&0&0&0&\vert&0\\
0&0&1&3&0&0&\vert&0\\
0&0&0&1&4&0&\vert&0\\
0&0&0&0&1&0&\vert&-5\\
0&0&0&0&0&1&\vert&1
\end{bmatrix}\rightarrow$$
$$\begin{bmatrix}
1&1&0&0&0&0&\vert&0\\
0&1&2&0&0&0&\vert&0\\
0&0&1&3&0&0&\vert&0\\
0&0&0&1&0&0&\vert&5\cdot 4\\
0&0&0&0&1&0&\vert&-5\\
0&0&0&0&0&1&\vert&1
\end{bmatrix}$$ $$\cdots\rightarrow$$ $$\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&0&\vert&(-1)^55!\\
0&1&0&0&0&0&\vert&(-1)^45!/1!\\
0&0&1&0&0&0&\vert&(-1)^35!/2!\\
0&0&0&1&0&0&\vert&5\cdot 4\\
0&0&0&0&1&0&\vert&-5\\
0&0&0&0&0&1&\vert&1
\end{bmatrix}$$
由此可歸納得到一般式
$$\int x^{n}e^{x}dx=(-1)^nn!(e^x)+(-1)^{n-1}n!(xe^x)+\cdots$$
$$+n(n-1)(x^{n-2}e^x)-n(x^{n-1}e^x)+(x^ne^x)$$
$$=e^x\left[x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots++(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\right]$$
微分和積分都是線性變換，而矩陣乘法是線性變換的具體實現，透過矩陣乘法機制很自然地聯繫兩個看似無關的數學領域——線性代數與微積分。我們學習微分方程時，經常發現線性代數的蹤影，其原因即在於此，欲進一步了解微分方程與線性代數相關性的讀者可以參考“從線性代數看微分方程”。
本文參考 Integration by Matrix Inversion，William Swartz，American Mathematical Monthly，65 (1958)，282-283。
沒有留言:
張貼留言