二矩陣之和的逆矩陣

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1970年代美國電視影集 "Kung Fu" 裡，主角甘貴成 (Caine) 與盲眼老和尚 (Master Po) 初次相遇時有一段令人難忘的對話。(按此收看 YouTube 影片)

  

Master Po: Close your eyes. What do you hear?

Caine: I hear the water. I hear the birds.

Master Po: Do you hear your own heartbeat?

Caine: No.

Master Po: Do you hear the grasshopper, which is at your feet?

(Caine 睜開眼睛看見腳邊真有一隻蚱蜢。)

Caine: Old man... how is it that you hear these things?

Master Po: Young man... how is it that you do not?

   

這個故事和線性代數有什麼關係？

嗯，是沒有什麼大關係。「線代啟示錄」也不完全都跟線性代數有關，不是嗎？

正文開始...

  

大家都曉得若 $$A$$ 和 $$B$$ 是同樣尺寸的可逆矩陣，則其乘積的逆矩陣為 $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$。不過，二矩陣之和的逆矩陣就沒有簡單的公式，通常我們只能乖乖相加之後再計算，然而一些具特殊形式的矩陣之和確實存在逆矩陣公式。

  

假設矩陣 $$A$$ 是 $$m\times m$$ 階，$$B$$ 是 $$n\times n$$ 階，$$U$$ 是 $$m\times n$$ 階，$$V$$ 是 $$n\times m$$階，有這個公式：

$$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$$

前提當然是 $$A$$ 和 $$I+BVA^{-1}U$$ 是可逆矩陣。當 $$B=-D^{-1}$$，便有下式：

$$(A-UD^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$$

還可以繼續變形，已知 $$A$$ 是可逆時，$$A+b\mathbf{u}\mathbf{v}^T$$ 的逆矩陣為

$$(A+b\mathbf{u}\mathbf{v}^{T})^{-1}=A^{-1}-b(1+b\mathbf{v}^{T}A^{-1}\mathbf{u})^{-1}A^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{T}A^{-1}$$

其中 $$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}^T$$ 分別是行向量與列向量。

   

究竟這些奇怪的公式當初是怎麼導出來的？我們可以從下面這個分塊矩陣乘積出發：

$$\begin{bmatrix}

A^{-1}&0\\

-VA^{-1}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

A&U\\

V&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

I&A^{-1}U\\

0&D-VA^{-1}U\end{bmatrix}$$

經過一小段曲折旅程即可解出上述所有公式，還順便求得 2 階分塊方陣的逆矩陣：

$$\begin{bmatrix}

A&U\\

V&D\end{bmatrix}^{-1}=$$

$$\begin{bmatrix}

A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}\\

-(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&(D-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}$$

我將推演過程切割成幾個子問題並提供引導，刊登於三月23日的每週問題。

   

(本文參考 H. V. Henderson 和 S. R. Searle 共同發表的 On deriving the inverse of a sum of matrices，刊登於 SIAM Review, Vol 23, No 1, 53-60, 1981.)

延伸閱讀：  '每週問題 March 23, 2009'