矩陣乘法的現代觀點 (一)

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高中數學課本將矩陣乘積 $$AB$$ 的定義建立於每個 $$(i,j)$$ 元的計算式上，進入大學之後，如果仍緊抓住這個定義不放，對於理解線性代數反而是個阻礙。從比較現代的角度來看，矩陣乘積有許多個更富含意義的等價運算方式。

     

以元作為計算單元定義 AB

這是每個人都熟悉的高中課本定義，我們視 $$AB$$ 的 $$(i,j)$$ 元為 $$A$$ 的第 $$i$$ 列和 $$B$$ 的第 $$j$$ 行之內積，也稱為“列行法則”，如下：

$$(\mathit{AB})_{ij}={a}_{i1}{b}_{1j}+\cdots +{a}_{in}{b}_{nj}$$

這個公式的主要用途是方便手算，缺點是不自然也不具啟發性，多數人學到這個定義的第一反應是無所適從，很難理解其意義。列行法則於理論上的應用時機是研究子空間的正交關係，利用此法則可以證明 $$A$$ 的零空間和 $$A$$ 的列空間正交。

   

以行作為計算單元定義 Ax

這可能是最為重要的一種觀點，我們視矩陣 $$A$$ 和向量 $$\mathbf{x}$$ 之乘積為 $$A$$ 其行向量的線性組合，向量 $$\mathbf{x}$$ 的元即為組合權重：

$$\mathit{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}

\mathbf{a}_{1} & \cdots &\mathbf{a}_{n}

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_{1}\\

\vdots \\

x_{n}

\end{bmatrix}=\mathbf{a}_{1}x_{1}+\cdots +\mathbf{a}_{n}x_{n}$$

傳統的寫法是將純量擺在向量的左邊，也就是

$$\mathit{A}\mathbf{x}= x_{1}\mathbf{a}_{1} +\cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n} $$

這個定義適合聯繫齊次方程式 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 與線性獨立，也能解釋 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 是否一致和 $$\mathbf{b}$$ 是否屬於 $$A$$  的行空間是同一回事，更可以清楚顯現 $$\mathbf{x}\rightarrow A\mathbf{x}$$ 的的確確是線性變換。

   

以行作為計算單元定義 AB

很自然地，我們可以視 $$AB$$ 為兩個線性變換 $$\mathbf{x}\rightarrow B\mathbf{x}$$ 和 $$\mathbf{y}\rightarrow A\mathbf{y}$$ 的合成。先寫出

$$\mathit{B}\mathbf{x}= \mathbf{b}_{1}x_{1}+\cdots +\mathbf{b}_{p}x_{p} $$

再利用 $$\mathbf{y}\rightarrow A\mathbf{y}$$ 的線性關係，就有

$$A(\mathit{B}\mathbf{x})=A(\mathbf{b}_{1}x_{1}+\cdots +\mathbf{b}_{p}x_{p})= (A\mathbf{b}_{1})x_{1} +\cdots + (A\mathbf{b}_{p})x_{p} $$

還是利用以行作為計算單元的定義，向量 $$A(B\mathbf{x})$$ 可寫作

$$\mathit{A}(B\mathbf{x})=\begin{bmatrix}

A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_1\\

\vdots\\

x_p

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}

\end{bmatrix}\mathbf{x}$$

上述兩線性映射的淨效果為包含行向量 $$A\mathbf{b}_i$$ 的矩陣，令此矩陣以 $$AB$$ 表示，則

$$\mathit{A}(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}$$

由此得到以行作為計算單元定義矩陣乘積 $$AB$$ 的方式，$$AB$$ 的每個行是 $$A$$ 的行向量之線性組合，而 $$B$$ 的對應行給出組合權重：

$$\mathit{A}B=A\begin{bmatrix}

\mathbf{b}_{1} & \cdots &\mathbf{b}_{p}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}

\end{bmatrix}$$

這個運算方式的用途很多，例如，$$AB$$ 的行空間必定屬於 $$A$$ 的行空間，隨之而來的結果是

$$\mathrm{rank}\mathit{AB}\leq \mathrm{rank}A $$

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