由最簡列梯形矩陣判斷線性方程解的結構

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給定一個 $$m\times n$$ 階矩陣 $$A$$，方程式  $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的解有哪些可能性？對於任意 $$m$$ 維向量 $$\mathbf{b}$$，解是否存在？又是否唯一？或者說解的結構為何？從矩陣 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣 $$R$$，我們可以回答上述關於解的結構問題。看這個例子：

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&1&3\\

1&2&2&5\\

1&2&3&7\end{bmatrix}$$

  

利用高斯—約當法可以得出矩陣 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣，如下：

$$R=\begin{bmatrix}

1&2&0&1\\

0&0&1&2\\

0&0&0&0\end{bmatrix}$$

此例中，$$R$$ 包含三類元素：

• (1) $$R$$ 的軸行為第 1，3 行，$$R$$ 的軸列為第 1，2 列，將所有同位於軸行和軸列的元挑出來，可以合成一個 2 階單位矩陣，得知 $$\mathrm{rank}A=2$$。


• (2) $$R$$ 的非軸行 (即第 2，4 行) 對應齊次方程式組 $$R\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的自由變數。


• (3) $$R$$ 包含一零列，置於最底。

 

在不失一般性原則下，我們以分塊矩陣表示：

$$R=\begin{bmatrix}

I_{r}&F\\

0&0\end{bmatrix}$$

注意，$$I_r$$ 是 $$r$$ 階單位矩陣，$$r=\mathrm{rank}A$$，$$F$$ 是 $$r\times (n-r)$$ 階矩陣，最底共有 $$(m-r)$$ 個零列。

     

$$R$$ 的型態直接告訴我們解的結構，分為四種情況，利用“秩—零度定理”可以完整解讀線性方程解的唯一性和存在性。

(1) $$r=n$$，$$r<m$$

$$R=\begin{bmatrix}

I_{r}\\

0\end{bmatrix}$$

矩陣 $$R$$ 不含分塊  $$F$$，表示不存在自由變數，零空間 $$N(A)=N(R)=\{\mathbf{0}\}$$，這確定了解的唯一性。又因 $$r<m$$，行空間 $$C(A)$$ 其維度為 $$r$$，故無法充滿整個 $$\mathbb{R}^m$$，這使得解未必存在 (除非 $$\mathbf{b}$$ 屬於 $$C(A)$$)。綜合零空間與行空間性質，得知方程式可能無解或僅有唯一解。

 

(2) $$r=m$$，$$r<n$$

$$R=\begin{bmatrix}

I_{r}&F

\end{bmatrix}$$

矩陣 $$R$$ 含 $$F$$ 分塊，表示至少有一個自由變數，零空間 $$N(A)=N(R)\neq\{\mathbf{0}\}$$，這使得解不具唯一性。又因 $$r=m$$，行空間 $$C(A)$$ 充滿了整個 $$\mathbb{R}^m$$，故對於任意 $$\mathbf{b}$$，方程式總是有無窮多組解。

 

(3) $$r=m$$，$$r=n$$

$$R=I_{r}$$

矩陣 $$R$$ 等於單位矩陣，表示沒有自由變數，零空間 $$N(A)=N(R)=\{\mathbf{0}\}$$。因 $$r=m$$，行空間 $$C(A)$$ 充滿了整個 $$\mathbb{R}^m$$，故對於任意 $$\mathbf{b}$$，總是有唯一解。

 

(4) $$r<m$$，$$r<n$$

$$R=\begin{bmatrix}

I_{r}&F\\

0&0\end{bmatrix}$$

矩陣 $$R$$ 含 $$F$$ 分塊，表示至少有一個自由變數，零空間 $$N(A)=N(R)\neq\{\mathbf{0}\}$$，解不具唯一性。因 $$r<m$$，行空間 $$C(A)$$ 無法充滿整個 $$\mathbb{R}^m$$。對於任意 $$\mathbf{b}$$，方程式可能無解或者存在無窮多組解。