矩陣視覺化

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矩陣通常以其儲存的數字列陣形式呈現，除非是天賦異稟的奇才，一般人很難洞察大尺寸矩陣的內部構造。矩陣視覺化是指利用色彩表示元的數值，雖然並不十分精確，但適合觀察矩陣行列和分塊結構，具有「見林不見樹」的效果。

 

考慮 $$n$$ 個資料點散佈於平面上 (或任何高維度空間內)，設 $$n\times n$$ 階距離矩陣 $$A$$ 的每個元 $$a_{ij}$$ 表示點 $$i$$ 與點 $$j$$ 的距離，顯然 $$a_{ji}=a_{ij}$$，$$A$$ 是對稱矩陣，且 $$a_{ij}\ge 0$$，$$a_{ii}=0$$。下圖是一個 $$100\times 100$$ 階距離矩陣的像素圖，顏色較深 (淺) 的像素對應數值較小 (大) 的元，深色主對角線表示 $$a_{ii}=0$$。(點圖可放大)

 

 

我們想重新排序這 $$100$$ 個資料點，目的是讓編號鄰近的資料點間距離較小，也就是說，鄰近編號的資料點在平面上群聚一塊。這個問題叫做群聚分析 (clustering)，在此並不深究。假設我們執行了群聚分析得到資料點的新排序，那該如何轉換原本的距離矩陣 $$A$$？很簡單，使用排列矩陣計算便可以搞定。

 

$$n\times n$$ 階矩陣 $$P$$ 稱為排列 (permutation) 矩陣， 若 $$P$$ 的每一行和每一列恰有一個元為 $$1$$，其他元為 $$0$$，例如，

$$P=\begin{bmatrix}

1&0&0\\

0&0&1\\

0&1&0

\end{bmatrix}$$

顧名思義，排列矩陣的功用在於排列另一矩陣的列或行。在 $$n\times m$$ 階矩陣 $$A$$ 左乘 $$P$$ 可重排 $$A$$ 的列，正是因為此一功用，排列矩陣是高斯消去法所使用的一種基本矩陣，如

$$\begin{bmatrix}

1&0&0\\

0&0&1\\

0&1&0

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

2&2&4&4\\

0&0&0&0\\

1&1&1&1

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

2&2&4&4\\

1&1&1&1\\

0&0&0&0

\end{bmatrix}$$

在 $$m\times n$$ 階矩陣 $$B$$ 右乘 $$P$$ 可重排 $$B$$ 的行，如

$$\begin{bmatrix}

2&3&4\\

2&0&1\\

2&0&1\\

2&0&1

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

1&0&0\\

0&0&1\\

0&1&0

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

2&4&3\\

2&1&0\\

2&1&0\\

2&1&0

\end{bmatrix}$$

既然排列矩陣交換列或行，任何排列矩陣便對應一組排序，例如，前述 $$P$$ 可表示為 $$(1,3,2)$$，記為 $$P_{1,3,2}$$。排列矩陣很容易由對應的排序得到，只需要將同尺寸的單位矩陣各列依序重排即可，不難得知共有 $$3\times 2\times 1=3$$！ 個 $$3\times 3$$ 階排列矩陣。  

 

我們稱僅交換二列 (或行) 的排列矩陣為基本排列矩陣，如 $$P_{1,3,2}$$ 交換第二列 (行) 和第三列 (行)，單位矩陣未交換行列也視作基本排列矩陣。基本排列矩陣是對稱的，但非基本排列矩陣則不，例如，

$$P_{3,1,2}=\begin{bmatrix}

0&0&1\\

1&0&0\\

0&1&0

\end{bmatrix}$$

任何非基本排列矩陣都可由基本排列矩陣相乘而得，此例為

$$P_{3,1,2}=P_{3,2,1}P_{2,1,3}$$

排列矩陣是可逆矩陣。基本排列矩陣 $$P$$ 本身即為其逆矩陣，又因為基本排列矩陣是對稱的，故 $$P^{-1}=P^{T}$$。上例之非基本排列矩陣之逆矩陣為

$$P_{3,1,2}^{-1}=P_{2,1,3}^{-1}P_{3,2,1}^{-1}=P_{2,1,3}^TP_{3,2,1}^T=(P_{3,2,1}P_{2,1,3})^T=P_{3,1,2}^T$$

由此歸納出任意排列矩陣 $$P$$ 都滿足 $$P^T=P^{-1}$$，亦即 $$P$$ 是正交矩陣，$$P$$ 的各行向量為單位長，而且彼此正交。利用此性質，以及

$$\mathrm{det}P^T=\mathrm{det}P$$,      $$\mathrm{det}P^{-1}=(\mathrm{det}P)^{-1}$$

推知 $$(\mathrm{det}P)^2=1$$，排列矩陣的行列式值為 $$\mathrm{det}P=\pm 1$$。

 

除了應用於消去法作為基本矩陣，排列矩陣的用途常在於重新命名變數。如果我們要將矩陣 $$A$$ 的第 $$i$$，$$j$$ 列對調，同時也將第 $$i$$，$$j$$ 行對調，可利用基本排列矩陣執行以下的相似轉換：

$$A\rightarrow P^{T}AP$$

例如，

$$\begin{bmatrix}

1&0&0\\

0&0&1\\

0&1&0

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

1&0&0\\

0&0&1\\

0&1&0

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

1&3&2\\

7&9&8\\

4&6&5

\end{bmatrix}$$

由於任何排列矩陣都為基本排列矩陣之積，即

$$P=P_1P_2\cdots P_k$$

就有

$$P^{T}AP=P_k^T\cdots (P_2^{T}(P_1^{T}AP_1)P_2)\cdots P_k$$

故相似轉換 $$P^{T}AP$$ 對於任何排序都適用。

  

回到原來的問題，對於 $$100\times 100$$ 階距離矩陣 $$A$$，總計有 $$100$$！個合法的相似轉換 $$P^{T}AP$$ 可供選擇。下面的距離矩陣像素圖是利用樹狀群聚分析 (tree clustering) 得到的排序，這 $$100$$ 個資料點經重新命名排序後，粗分為四大群聚，分別對應深色的四個主對角分塊。(點圖可放大)



 

第一個主對角分塊面積較小顏色較深，表示此群聚所含的資料點數較少且彼此距離相近。第三個分塊面積較大但分塊顏色較淺，這說明了此群聚包含的資料點數較多且散佈範圍也較廣，仔細觀察不難發現這個大群聚由五個較小的群聚 (深色小主對角分塊) 所組成。另一方面，由非主對角分塊的顏色可以判斷不同群聚間的距離，從圖得知第二個群聚和第四個群聚較為接近。

 

看了上面這兩張圖難免會想起電影駭客任務 (The matrix) 裡的超現實畫面，不過此文的 matrix (矩陣) 非電影指稱的 matrix (母體)。



引用來源：http://www.scc.net/~indra/matrix/images/seethematrix.jpg