Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？

本文的閱讀等級：初級

幾天前的一堂課，我用下例說明 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解集合是三維空間中穿越原點的一直線，所以是一個子空間，稱為 $$A$$ 的零空間。

$$\begin{bmatrix}

1&2&4\\

1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

0\\

0\end{bmatrix}$$

下課前三分鐘，再以這個例子

$$\begin{bmatrix}

1&2&4\\

1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

4\\

5\end{bmatrix}$$

告訴大家 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ ($$\mathbf{b}$$ 不為零向量) 的解集合是三維空間裡一條未穿越原點的直線，所以不是子空間。鐘響，趁亂趕緊又說這二條直線是平行的。

 

課後，眾人一哄而散。兩位同學過來問道：「為什麼 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 和 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解集合是平行的 (直線)？」

 

我應該知道在下課鐘響時，草草告訴學生那些我認為理所當然的事情是不明智的。我更應該知道習於抱持理所當然的態度，會逐漸使人停止思考，任由慣性驅策，也是不明智的。這兩位同學的問題點醒了我。

 

先說為什麼 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解集合是一直線？何妨找一些解出來看看，例如：

$$\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

0\\

0\\

0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}

2\\

1\\

-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}

4\\

2\\

-2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}

-2\\

-1\\

1\end{bmatrix}, \cdots$$

由此可歸納出 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解為

$$\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}

2\\

1\\

-1\end{bmatrix}$$

它確實是穿越原點的一直線。

 

再問為什麼 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的解集合也是一直線而且與上述直線平行？我們再找一些解出來看看，例如：

$$\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

2\\

1\\

0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}

0\\

0\\

1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}

4\\

2\\

-1\end{bmatrix},\cdots$$

它確實是一條未穿越原點的直線。但是如何能確認 (說證明，太沈重) 此二直線平行呢？

 

問題點出了我們如何由幾個例子推演出一般情況，從而“相信”命題為真。這時候我們需要使用符號，它的價值在於表示一般的情形。假設 $$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}$$ 是 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的兩個解，於是有 $$A\mathbf{u}=\mathbf{b}$$ 和 $$A\mathbf{v}=\mathbf{b}$$。將兩式相減，得到 $$A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=\mathbf{0}$$，這指出 $$(\mathbf{u}-\mathbf{v})$$ 是 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解。

 

整理得到的資訊，$$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}$$ 是 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 解集合直線上的二個點，因此 $$(\mathbf{u}-\mathbf{v})$$ 即為該直線的行進方向，但 $$(\mathbf{u}-\mathbf{v})$$ 也指出 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 解集合直線的行進方向，這證明了二直線平行。

 

進一步討論，方程式 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的一般解可以寫為 $$\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h$$，其中 $$\mathbf{x}_p$$ 滿足 $$A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}$$，稱作特殊解，而 $$\mathbf{x}_h$$ 為齊次方程的解即 $$A\mathbf{x}_h=\mathbf{0}$$。特殊解 $$\mathbf{x}_p$$ 可以為 $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 解所構成直線上的任意點，同理 $$\mathbf{x}_h$$ 可以為 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 解所構成穿越原點直線上的任意點。瞧一瞧上面的圖，畫意能達萬言 (a picture is worth a thousand words) 果真不假。