特殊矩陣 (12)：對角佔優矩陣

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如果一 $$n\times n$$ 階矩陣 $$A=[a_{ij}]$$ 每一列其主對角元的絕對值大於該列非主對角元絕對值之和，也就是說，對於 $$i=1,2,\ldots,n$$，滿足

$$\vert a_{ii}\vert>\sum_{j\neq i}\vert a_{ij}\vert$$

我們稱 $$A$$ 為對角佔優（diagonally dominant）。例如，

$$B=\begin{bmatrix}

-4&-2&1\\

1&2&0\\

3&1&5

\end{bmatrix}$$

是對角佔優矩陣因為

$$\vert b_{11}\vert=4>\vert b_{12}\vert+\vert b_{13}\vert=2+1=3$$

$$\vert b_{22}\vert=2>\vert b_{21}\vert+\vert b_{23}\vert=1+0=1$$

$$\vert b_{33}\vert=5>\vert b_{31}\vert+\vert b_{32}\vert=3+1=4$$

可逆矩陣定理

本文的閱讀等級：初級

可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題，如線性方程、線性獨立、向量空間、行列式、特徵值和奇異值；不論準備考試或自我充實，可逆矩陣定理好比「線代雞湯」是極佳的觀念複習濃縮菁華。本文並未給出可逆矩陣定理的完整證明，僅解釋部分陳述並說明常用的推論路徑。

特殊矩陣 (11)：三對角矩陣

本文的閱讀等級：初級

如果 $$n$$ 階方陣 $$A=[a_{ij}]$$ 除了主對角線元以及比主對角線低一列和高一列的對角線之外，其餘皆為零元，我們稱它為三對角（tridiagonal）矩陣，也就是說，當 $$\vert i-j\vert>1$$，$$a_{ij}=0$$；如下例，

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&0&0\\

3&2&3&0\\

0&2&1&1\\

0&0&3&2

\end{bmatrix}$$

三對角矩陣常出現於數值分析問題，本文僅介紹三對角矩陣的幾個基本性質，包括行列式計算、相似變換的應用以及求解線性方程式。

最簡列梯形陣式的唯一性

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高斯---約當法（Gauss-Jordan method）是線性代數中最常使用的演算法之一，它的功用是將給定矩陣化約至最簡列梯形陣式（reduced row echelon form）。透過最簡列梯形矩陣，不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題，如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底。從高斯---約當法的演算過程，我們憑直覺推斷 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣是唯一的，於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣和分塊矩陣的代數證明方法，透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

特殊矩陣 (十)：基本矩陣

本文的閱讀等級：初級

數百年來，化約主義（reductionism）強力主導科學和工程研究方法論，基本思想是將複雜的系統或現象化解為各部分的組合，透過分析各組件從而理解並描述原來的複雜系統或現象。線性代數也是如此，例如，類似對多項式因式分解，高斯消去法可將任意可逆矩陣分解為一組基本矩陣的乘積。這篇短文介紹基本矩陣的一般形式，證明基本矩陣是可逆的，且其逆矩陣也為基本矩陣。

特殊矩陣 (八)：Vandermonde 矩陣

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Vandermonde 矩陣具有以下形式

$$A_n=\begin{bmatrix}

1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\

1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}

\end{bmatrix}$$

$$A_n=[a_{ij}]$$ 是 $$n\times n$$ 階矩陣，其中各元為 $$a_{ij}=x_i^{j-1}$$。

利用逆矩陣積分

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在“從幾何向量空間到函數空間”一文，我說明了函數空間可視為廣義的向量空間；函數的線性運算，例如微分算子，其實就是定義於向量空間裡的線性變換，而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底，線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示，這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。