逆矩陣的恆等式

本文的閱讀等級：初級

本文介紹一些有用的逆矩陣恆等式。以下假設所有列出的矩陣加法、乘法和標示為逆矩陣者皆為合法運算。推導逆矩陣恆等式的主要工具包括逆矩陣公式：

$$A^{-1}A=A^{-1}A=I$$

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

矩陣乘積的逆矩陣公式（以下簡稱基本公式）：

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

$$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$

以及矩陣運算基本性質，即交換律與結合律，

$$A(B+C)=AB+AC$$

$$(A+B)C=AC+BC$$

$$A(BC)=(AB)C$$

正式開始證明之前，我提醒讀者注意幾個相當管用的運算技巧。為了使基本公式發揮功能，設法將矩陣加法改寫為矩陣乘法，從矩陣算式中提出逆矩陣是最常用的步驟，例如，$$I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}$$；善用 $$(X^{-1})^{-1}=X$$，若條件允許，先計算複雜矩陣式 $$X$$ 的逆矩陣，化簡分解 $$X^{-1}$$ 之後，再計算一次逆矩陣；此外，代入適當矩陣式 $$X$$ 於 $$X^{-1}X=XX^{-1}=I$$ 也可以創造分解機會。

    

等式一

$$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}$$

        

自 $$A^{-1}+B^{-1}$$ 提出 $$A^{-1}$$ 和 $$B^{-1}$$，分別置於左右兩側，即得

$$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}$$

若將 $$A^{-1}$$ 和 $$B^{-1}$$ 的擺放位置對調，可得

$$A^{-1}+B^{-1}=(I+B^{-1}A)A^{-1}=B^{-1}(B+A)A^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}$$

       

等式二

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$$

           

計算等式一等號兩邊逆矩陣，套入基本公式，立得

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=( A^{-1}(A+B)B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A$$

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=( B^{-1}(A+B)A^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B$$

      

等式三

$$(I+A^{-1})^{-1}=A(A+I)^{-1}=(A+I)^{-1}A$$

       

如證明等式一的方法，左提或右提 $$A^{-1}$$，將 $$I+A^{-1}$$ 表示成矩陣乘法：

$$I+A^{-1}=(A+I)A^{-1}=A^{-1}(A+I)$$

上式取逆矩陣即證得所求。

      

等式四

$$(I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1}$$

     

觀察出 $$(I+AB)^{-1}A$$ 的逆矩陣 $$A^{-1}(I+AB)$$ 具有較簡單形式，使用分配率計算如下：

$$((I+AB)^{-1}A)^{-1}=A^{-1}(I+AB)=A^{-1}+B=(I+BA)A^{-1}$$

再取一回逆矩陣，即得

$$(I+AB)^{-1}A=((I+BA)A^{-1})^{-1}=A(I+BA)^{-1}$$

      

等式五

$$(A+BB^T)^{-1}B=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}$$

      

如等式四解法，計算 $$(A+BB^T)^{-1}B$$ 的逆矩陣，化簡後再提出因式：

$$((A+BB^T)^{-1}B)^{-1}=B^{-1}(A+BB^T)=B^{-1}A+B^T=(I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A$$

上式取逆矩陣，即

$$(A+BB^T)^{-1}B=((I+B^TA^{-1}B)B^{-1}A)^{-1}=A^{-1}B(I+B^TA^{-1}B)^{-1}$$

      

等式六

$$A-A(A+B)^{-1}A=B-B(A+B)^{-1}B$$

      

下面恆等式成立（證明見“矩陣運算的基本技巧”）：

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A$$

將 $$A$$ 和 $$B$$ 互換位置，根據對稱原理，就有

$$(B^{-1}+A^{-1})^{-1}=B-B(B+A)^{-1}B$$

比較上面兩式即得證。另外，直接分解 $$A-A(A+B)^{-1}A$$ 亦可行，靈巧地運用代數技巧，步驟如下：

$$A-A(A+B)^{-1}A=A-A(A+B)^{-1}(A+B-B)$$

$$=A-A(A+B)^{-1}(A+B)+A(A+B)^{-1}B=A(A+B)^{-1}B$$

將上式 $$A$$，$$B$$ 對調，就有

$$B-B(B+A)^{-1}B=B(B+A)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A$$

利用等式二即證得原命題。

       

等式七

$$(I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B$$

     

要從這個恆等式的構造一眼看清證明方法並不很容易。考慮

$I=(I+AB)(I+AB)^{-1}=(I+AB)^{-1}+AB(I+AB)^{-1}$

將 $$(I+AB)^{-1}$$ 抽出，

$$(I+AB)^{-1}=I-AB(I+AB)^{-1}$$

觀察出 $$(I+AB)=B^{-1}(I+BA)B$$，取其逆矩陣得 $$(I+AB)^{-1}=B^{-1}(I+BA)^{-1}B$$，再帶回上式等號右邊，可得

$$(I+AB)^{-1}=I-AB(B^{-1}(I+BA)^{-1}B)=I-A(I+BA)^{-1}B$$