Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？

本文的閱讀等級：初級

幾天前的一堂課，我用下例說明 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 的解集合是三維空間中穿越原點的一直線，所以是一個子空間，稱為 $$A$$ 的零空間。

$$\begin{bmatrix}

1&2&4\\

1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

x_{1}\\

x_{2}\\

x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

0\\

0\end{bmatrix}$$

二矩陣之和的逆矩陣

本文的閱讀等級：中級

1970年代美國電視影集 "Kung Fu" 裡，主角甘貴成 (Caine) 與盲眼老和尚 (Master Po) 初次相遇時有一段令人難忘的對話。(按此收看 YouTube 影片)

矩陣乘法的現代觀點 (三)

以分塊作為計算單元定義 AB

假設矩陣 $$A$$ 是 $$m\times n$$ 階，$$B$$ 是 $$n\times p$$ 階，則 $$AB$$ 可以相乘。同樣道理，將 $$A$$ 和 $$B$$ 以分塊矩陣形式表示，例如，$$A$$ 為 $$3\times 2$$ 分塊，$$B$$ 為 $$2\times 2$$ 分塊：

$$A=\begin{bmatrix}

A_{11}&A_{12}\\

A_{21}&A_{22}\\

A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}$$ 和 $$B=\begin{bmatrix}

B_{11}&B_{12}\\

B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}$$

如此 $$AB$$ 可以用分塊矩陣實現乘法運算。

矩陣乘法的現代觀點 (二)

以列作為計算單元定義 AB

這個定義和以行作為計算單元的定義有類比的形式，我們視 $$AB$$ 的每一列為 $$B$$ 其列之線性組合，矩陣 $$A$$ 的對應列給出組合權重，如下：

$$\mathrm{row}_{i}(AB)= \mathrm{row}_{i}(A)\cdot\mathit{B} $$

矩陣乘法的現代觀點 (一)

本文的閱讀等級：初級

高中數學課本將矩陣乘積 $$AB$$ 的定義建立於每個 $$(i,j)$$ 元的計算式上，進入大學之後，如果仍緊抓住這個定義不放，對於理解線性代數反而是個阻礙。從比較現代的角度來看，矩陣乘積有許多個更富含意義的等價運算方式。