特殊矩陣 (11)：三對角矩陣

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如果 $$n$$ 階方陣 $$A=[a_{ij}]$$ 除了主對角線元以及比主對角線低一列和高一列的對角線之外，其餘皆為零元，我們稱它為三對角（tridiagonal）矩陣，也就是說，當 $$\vert i-j\vert>1$$，$$a_{ij}=0$$；如下例，

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&0&0\\

3&2&3&0\\

0&2&1&1\\

0&0&3&2

\end{bmatrix}$$

三對角矩陣常出現於數值分析問題，本文僅介紹三對角矩陣的幾個基本性質，包括行列式計算、相似變換的應用以及求解線性方程式。

最簡列梯形陣式的唯一性

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高斯---約當法（Gauss-Jordan method）是線性代數中最常使用的演算法之一，它的功用是將給定矩陣化約至最簡列梯形陣式（reduced row echelon form）。透過最簡列梯形矩陣，不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題，如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底。從高斯---約當法的演算過程，我們憑直覺推斷 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣是唯一的，於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣和分塊矩陣的代數證明方法，透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

特殊矩陣 (十)：基本矩陣

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數百年來，化約主義（reductionism）強力主導科學和工程研究方法論，基本思想是將複雜的系統或現象化解為各部分的組合，透過分析各組件從而理解並描述原來的複雜系統或現象。線性代數也是如此，例如，類似對多項式因式分解，高斯消去法可將任意可逆矩陣分解為一組基本矩陣的乘積。這篇短文介紹基本矩陣的一般形式，證明基本矩陣是可逆的，且其逆矩陣也為基本矩陣。