矩陣運算的基本技巧

本文的閱讀等級：初級

考慮下面這個問題：設 $$A$$ 和 $$B$$ 為 $$n\times n$$ 階矩陣且 $$A+B$$ 是可逆的，證明

$$A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$$

此題令人頭疼的地方在於 $$(A+B)^{-1}$$ 夾在兩個矩陣之間，要將它消去似乎不是一件容易的事。先檢查一下我們手邊的可用工具，矩陣運算遵守下列基本性質：

(1) 分配律 $$A(B+C)=AB+AC$$，$$(A+B)C=AC+BC$$

(2) 結合律 $$A(BC)=(AB)C$$

(3) 矩陣乘法交換律不總是成立，但若 $$A$$ 可逆，則存在 $$B$$ 使得 $$AB=BA=I$$，交換律成立。

理論上，運用這些性質便足以應付多數的問題，但我們也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧，複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。

   

上述問題的解題切入點在於 $$A+B$$ 是可逆的，也就有

$$(A+B)(A+B)^{-1}=I$$

上式可改寫為

$$A(A+B)^{-1}=I-B(A+B)^{-1}$$

令原命題等號兩邊相減，將上式代入，交互使用分配律與結合律化簡，證明過程如下：

$$A(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A$$

$$=\left(I-B(A+B)^{-1}\right)B-B(A+B)^{-1}A$$

$$=B-B(A+B)^{-1}B-B(A+B)^{-1}A$$

$$=B-B(A+B)^{-1}(B+A)$$

$$=B-B=0$$

    

以下幾個問題提供給讀者練習，部分問題取自研究所入學試題。

    

例一：若 $$n$$ 階方陣 $$A$$ 可逆，對於任意 $$n$$ 階方陣 $$B$$，證明

$$(A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)$$

這是一個基本練習題，只需要選擇適當的矩陣重組分解即可，下面是詳細的演算步驟：

$$(A+B)A^{-1}(A-B)$$

$$=(A+B)(I-A^{-1}B)$$

$$=A+B-B-BA^{-1}B$$

$$=A-B+AA^{-1}B-BA^{-1}B$$

$$=(A-B)+(A-B)A^{-1}B$$

$$=(A-B)\left(I+A^{-1}B\right)$$

$$=(A-B)A^{-1}(A+B)$$

    

例二：設 $$A$$ 和 $$B$$ 同為 $$n$$ 階方陣，若 $$AB=A+B$$，證明 $$AB=BA$$。

將條件式 $$AB-A-B=0$$ 因式分解：

$$A(B-I)-(B-I)=(A-I)(B-I)=I$$

為了製造 $$BA$$，使用交換律

$$(B-I)(A-I)=I$$

也就得到 $$BA=A+B$$，證出 $$AB=BA$$。

   

例三：設 $$A$$，$$B$$ 和 $$A+B$$ 為同尺寸可逆矩陣，證明

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A-A(A+B)^{-1}A$$

原命題等價於證明

$$(A^{-1}+B^{-1})\left(A-A(A+B)^{-1}A \right)=I$$

令等號左邊為 $$X$$，乘開可得

$$X=I+B^{-1}A-(A+B)^{-1}A-B^{-1}A(A+B)^{-1}A$$

上式等號右邊有兩項左側為 $$B^{-1}$$，這自然引領我們計算乘積 $$BX$$，過程如下：

$$BX=B+A-B(A+B)^{-1}A-A(A+B)^{-1}A$$

$$=B+A-(B+A)(A+B)^{-1}A$$

$$=B+A-A=B$$

由於 $$B$$ 可逆，故 $$X=I$$。

    

例四：設 $$I-AB$$ 和 $$I-BA$$ 可逆，證明

$$(I-AB)^{-1}=I+A(I-BA)^{-1}B$$

與例三的解法類似，直接驗證

$$(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)=I$$

將等號左邊乘開，

$$(I-AB)\left(I+A(I-BA)^{-1}B\right)$$

$$=I-AB+A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B$$

仔細觀察上式右邊兩項，它們可以因式分解為

$$ A(I-BA)^{-1}B-ABA(I-BA)^{-1}B=A(I-BA)(I-BA)^{-1}B=AB$$

也就證出原命題。