由最簡列梯形矩陣判斷線性方程解的結構

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給定一個 $$m\times n$$ 階矩陣 $$A$$，方程式  $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ 的解有哪些可能性？對於任意 $$m$$ 維向量 $$\mathbf{b}$$，解是否存在？又是否唯一？或者說解的結構為何？從矩陣 $$A$$ 的最簡列梯形矩陣 $$R$$，我們可以回答上述關於解的結構問題。看這個例子：

$$A=\begin{bmatrix}

1&2&1&3\\

1&2&2&5\\

1&2&3&7\end{bmatrix}$$