特殊矩陣 (12)：對角佔優矩陣

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如果一 $$n\times n$$ 階矩陣 $$A=[a_{ij}]$$ 每一列其主對角元的絕對值大於該列非主對角元絕對值之和，也就是說，對於 $$i=1,2,\ldots,n$$，滿足

$$\vert a_{ii}\vert>\sum_{j\neq i}\vert a_{ij}\vert$$

我們稱 $$A$$ 為對角佔優（diagonally dominant）。例如，

$$B=\begin{bmatrix}

-4&-2&1\\

1&2&0\\

3&1&5

\end{bmatrix}$$

是對角佔優矩陣因為

$$\vert b_{11}\vert=4>\vert b_{12}\vert+\vert b_{13}\vert=2+1=3$$

$$\vert b_{22}\vert=2>\vert b_{21}\vert+\vert b_{23}\vert=1+0=1$$

$$\vert b_{33}\vert=5>\vert b_{31}\vert+\vert b_{32}\vert=3+1=4$$

可逆矩陣定理

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可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題，如線性方程、線性獨立、向量空間、行列式、特徵值和奇異值；不論準備考試或自我充實，可逆矩陣定理好比「線代雞湯」是極佳的觀念複習濃縮菁華。本文並未給出可逆矩陣定理的完整證明，僅解釋部分陳述並說明常用的推論路徑。